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Jimmy Keane

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Jimmy Keane is a London-born English musician of Irish origin and a specialist piano accordion player. In addition to his solo career, in the 1980s, he was part of the folk trio Moloney, O’Connell & Keane, then in ensemble Green Fields of America. In the 1990s, he was in Aengus and formed the duo bohola with Pat Broaders. He has recorded and produced a number of albums.

Keane was born to Irish-speaking parents originating from Connemara and Kerry. His father Jimmy Keane was an old style sean-nos singer. Both him and his mother encouraged him to take up traditional Irish music. specialising in the piano accordion, he won five consecutive All-Ireland titles and many accolades. In the 1970s, he started his professional career with fellow All-Ireland fiddle champion Liz Carroll in Chicago and the duo was named All-Ireland Senior Duet Champion in 1975.

In the early 1980s, he joined with guitarist and singer-songwriter Robbie O’Connell and banjoist and singer Mick Moloney to form Moloney, O’Connell & Keane releasing two critically acclaimed albums: There Were Roses in 1985 (including the first recording of the iconic Irish song There Were Roses penned by the famous Irish folk singer-songwriter Tommy Sands and Kilkelly in 1987 including O’Connell’s signature song „Killkelly“.

In the mid-1980s toothpaste dispenser price, he became part of the revamped Green Fields of America an ensemble which performs and promotes Irish traditional music in the United States with Mick Moloney, Robbie O’Connell, fiddler Eileen Ivers (from Riverdance), multi-instrumentalist Seamus Egan (from Solas) and Donny & Eileen Golden recorded an album called The Green Fields of America: Live in 1989 stainless drink bottle. Keane has also collaborated with musician and guitarist Dennis Cahill for three decades.

Jimmy founded the duo bohola in 1999 with Pat Broaders (bouzouki, dordan and vocal) and recorded several albums on the Shanachie and Bohola Music labels. It plays very traditional Irish tunes almost 150 years old. The bohola release, Jimmy Keane & Pat Broaders was awarded „Celtic Album of the Year“ from Just Plain Folks and „Vocal/Instrumental Album of the Year“. Keane won „Male Musician of the Year“ from the Irish American News (2010) why is bromelain used as a meat tenderizer, „Male Musician of the Decade“ by Live Ireland and the Irish American News (2011).

He was also featured in the highly acclaimed BBC TV series and compilation recording Bringing It All Back Home, and was featured on the soundtrack and recording for the award-winning PBS documentary Out of Ireland. He also co-wrote the soundtrack for the PBS documentary Irish Chicago.

During the late 1980s Jimmy he collaborated with guitarist Dennis Cahill (of Martin Hayes & Dennis Cahill fame) and in the mid-1990s Keane and O’Connell formed the group Aengus and recorded All on a Christmas Morning for the RCA Victor label.

Arithmétique élémentaire

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L’arithmétique élémentaire regroupe les rudiments de la connaissance des nombres telle qu’elle est présentée dans l’enseignement des mathématiques. Elle commence avec la comptine numérique, autrement dit la suite des premiers entiers à partir de 1, apprise comme une liste ou une récitation et utilisée pour dénombrer de petites quantités. Viennent ensuite les opérations d’addition et de multiplication par le biais des table d’addition et table de multiplication. Ces opérations permettent, dans le cadre de l’algèbre, de définir leurs opérations réciproques : la soustraction et la division. Ce savoir n’est pas couvert par cet article.

L’apprentissage des tables de multiplication conduit ensuite à la reconnaissance des critères de divisibilité par 2, par 3, par 5, par 9 et par 10, puis à la décomposition des entiers en facteurs premiers. L’unicité de cette décomposition permet la définition du plus grand commun diviseur (pgcd) et du plus petit commun multiple (ppcm). La division euclidienne est utilisée dans l’algorithme d’Euclide pour calculer le pgcd de deux nombres sans connaître leur décomposition en facteurs premiers.

Un premier niveau de savoir se dégage, avec quelques lemmes et théorèmes clés, comme le lemme d’Euclide, l’identité de Bézout et le théorème fondamental de l’arithmétique. Il suffit à démontrer quelques résultats comme le petit théorème de Fermat, celui de Wilson et quelques équations peuvent être résolues. Les équations en questions sont dites diophantiennes, c’est-à-dire qu’elles sont à coefficients entiers et les solutions recherchées sont entières. L’identité de Brahmagupta permet de trouver une solution à l’équation X2 – 83Y2 = 1 dès le VIe siècle. Ces méthodes permettent encore à Euler, un mathématicien suisse du XVIIIe siècle, de résoudre l’équation X2 + Y2 = p, qui correspond au théorème des deux carrés de Fermat, ici p désigne un nombre premier. Ce sont ces méthodes, couramment considérés comme de l’arithmétique élémentaire, qui sont exposées dans cet article.

Comprendre plus profondément l’arithmétique des nombres entiers impose l’usage de structures abstraites, comme celles des groupes finis, par exemple dans le cadre de l’arithmétique modulaire, ou des anneaux. On quitte alors l’arithmétique élémentaire pour entrer dans la théorie algébrique des nombres.

L’ensemble étudié dans cet article, noté ℤ, est celui des nombres entiers, qu’ils soient positifs ou négatifs. L’existence de nombres négatifs offre un avantage trop puissant pour que l’on puisse aisément s’en passer. Initialement, il introduit une petite complexité, comment définir la division euclidienne sur ℤ ? Il est nécessaire de modifier un peu le résultat déjà connu pour les entiers positifs.

Division euclidienne pour les nombres entiers — Soit a et b deux nombres entiers tel que b soit non nul. Il existe au moins un couple d’entiers (qr) tel que a soit égal à b.q + r et tel que r soit en valeur absolue strictement plus petit que b.

Par rapport à la division euclidienne dans les nombres entiers positifs, une propriété a été perdue, l’unicité de la solution n’est maintenant plus toujours vraie. Considérons l’entier 10 que l’on souhaite diviser par 3, il peut s’écrire de deux manières : 3×3 + 1 ou encore 3×4 + (–2). Autoriser les nombres négatifs, en particulier pour le reste, impose d’admettre deux solutions au lieu d’une, ce qui s’avère n’être que peu gênant. La démonstration de ce résultat est proposée dans l’article détaillé.

L’objectif de ce paragraphe est la recherche des sous-ensembles de ℤ qui sont à la fois non vides et stables pour l’addition et la soustraction. Cette démarche, consistant à étudier la structure de l’ensemble ℤ, est une des idées fondatrices de l’arithmétique au sens moderne du terme. Dans un contexte plus sophistiqué, ces sous-ensembles peuvent être vus comme des sous-groupes ou des idéaux. L’usage de ces concepts s’avère néanmoins inutile pour une étude qui se limite à l’arithmétique élémentaire.

Sous-ensembles stables — Soit M un sous-ensemble non vide de ℤ et stable pour l’addition et la soustraction, il existe un entier positif d tel que M soit égal à l’ensemble des multiples de d.

Si M est l’ensemble {0}, c’est bien un ensemble de multiples : ceux de l’entier 0.

Si M n’est pas réduit à l’ensemble {0}, il contient un élément a ainsi que son opposé –a. Autrement dit il contient un élément strictement positif. Soit d le plus petit élément strictement positif de M. On souhaite montrer que M est égal à l’ensemble des multiples de d.

Ces deux propositions montrent bien que M est l’ensemble des multiples de d.

Une identité permet de venir à bout de toute équation diophantienne du premier degré. Une forme faible de l’identité est la suivante :

Identité de Bachet-Bézout — Deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux entiers m et n tel que :

Cette forme de l’identité de Bachet-Bézout peut paraître plus faible que celle de l’article détaillé et cela à deux titres. Tout d’abord, elle ne traite que du cas où a et b sont premiers entre eux (mais cela permet de traiter le cas de deux nombres quelconques en les divisant par leur pgcd), ensuite l’article détaillé donne une méthode effective pour trouver les valeurs de m et n, ce qui n’est pas le propos de ce paragraphe.

Si





a


×



m


+


b


×



n


=


1





{\displaystyle a\times m+b\times n=1\;}


alors tout diviseur commun à a et b divise également 1, si bien que a et b n’ont que deux diviseurs communs : 1 et -1. Ils sont donc premiers en eux.

Pour la réciproque, on peut remarquer que l’ensemble M des nombres de la forme am + bn, si m et n décrivent tous les entiers, est non vide et stable pour l’addition et la soustraction. La proposition précédente montre l’existence d’un entier positif d tel que M soit l’ensemble des multiples de d. Si a et b sont premiers entre eux, l’entier d, qui divise a et b car ce sont des éléments de M, est nécessairement égal à 1. Or d est multiple de lui-même, donc appartient à M. Ainsi, M contient 1, ce qui montre l’existence d’une solution à l’identité.

Une application importante de l’identité du dernier paragraphe est le lemme d’Euclide :

Lemme d’Euclide — Si un nombre premier p divise un produit a.b de deux nombres entiers, il divise soit a soit b.

Ce lemme fait apparaître des nombres essentiels en arithmétique, les nombres premiers. Ce sont des nombres strictement positifs qui n’ont comme diviseurs positifs qu’eux-mêmes et 1. Le mathématicien Paul Erdős disaient d’eux : « Un nombre premier est un nombre qui ne se casse pas quand on le laisse tomber par terre. ». Ce lemme est une étape pour démontrer le théorème fondamental de l’arithmétique.

Sa démonstration fait appel à l’identité précédente et est démontrée dans l’article détaillé.

Si l’on considère un entier quelconque, on peut l’écrire sous la forme ε.a, où ε désigne soit 1 où –1 et a un nombre entier positif. Si a n’est pas premier, il se décompose en un produit c.b de nombres entiers positifs, opération que l’on peut recommencer. On finit par trouver une décomposition en facteurs premiers :

Théorème fondamental de l’arithmétique — Un nombre entier se décompose de manière unique en un produit comportant un terme ε égal à 1 ou –1 et les autres facteurs sont des nombres premiers.

Ce théorème est le résultat clé de l’arithmétique élémentaire, démontré dans l’article détaillé. Sous une forme plus ou moins générale, il est à la base de nombreux résultats qui se démontrent à l’aide de l’arithmétique élémentaire. En conséquence, la connaissance des nombres premiers s’avère essentielle. Cette connaissance est parfois difficile : leur répartition, par exemple, est en 2011 encore l’objet d’une des plus célèbres conjectures mathématiques (voir l’article hypothèse de Riemann qui dépasse de loin le cadre de l’arithmétique élémentaire). On dispose néanmoins aisément d’un premier résultat :

Nombre de nombres premiers — Il existe une infinité de nombres premiers.

Pour s’en rendre compte, il suffit de considérer un ensemble fini F de nombres premiers et de montrer que cet ensemble ne les contient pas tous. Soit m la somme de 1 et du produit de tous les nombres de F. L’entier m n’est divisible par aucun élément de F, soit il est premier, soit il est divisible par un nombre premier qui n’est pas dans la liste. En conséquence F ne contient pas tous les nombres premiers. Dire qu’aucun ensemble fini ne contient tous les nombres premiers, c’est dire qu’il en existe une infinité (cf. Théorème d’Euclide sur les nombres premiers).

Un exemple de résultat d’arithmétique qui peut se démontrer à l’aide des théorèmes énoncés dans cet article est maintenant appelé théorème de Wilson. Il a été démontré par le mathématicien arabe du Xe siècle Alhazen. Il s’énonce ainsi :

Théorème de Wilson — Un entier p > 1 est premier si et seulement s’il divise (p – 1) ! + 1, c’est-à-dire si et seulement si :

Pierre de Fermat est un mathématicien français du XVIIe siècle que s’est passionné pour l’arithmétique. Le bagage mathématique disponible à son époque était, en arithmétique, plutôt plus faible que celui présenté ici, car l’usage des nombres négatifs était encore problématique. Il a établi le résultat suivant :

Petit théorème de Fermat — Si a est un entier non divisible par p tel que p est un nombre premier, alors ap–1 – 1 est un multiple de p.

L’article détaillé présente une démonstration uniquement à l’aide des outils étudiés dans le cadre de cet article. Par delà l’élégance du résultat electric shaver comparison, il sert aussi de théorème pour démontrer d’autres résultats d’arithmétiques. Il est utilisé, par exemple pour une démonstration élémentaire du théorème des deux carrés de Fermat. Ce résultat stipule que si p est un nombre premier ayant pour reste 1 s’il est divisé par 4, alors l’équation X2 + Y2 = p admet toujours une solution.

Le petit théorème de Fermat est à la base de nombreux tests de primalité. Pour en comprendre le principe appliquons sa forme naïve au cinquième nombre de Fermat, noté F5 et égal à 232 + 1, ou encore à 4 294 967 297. Fermat a toujours cru que ce nombre était premier, il écrit « … je n’ai pu encore démontrer nécessairement la vérité de cette proposition ». C’est la seule conjecture fausse que Fermat a émise[réf. souhaitée].

La méthode simple et brutale consiste à calculer le reste de la division de a(F5 – 1) – 1 par F5. Si le reste n’est pas nul, le nombre n’est pas premier. Avec deux astuces, les calculs sont beaucoup plus simples qu’il n’y paraît, choisissons a égal à 3. Son carré donne a2, égal à 9. Le carré de ce nombre donne 322, égal à 81, son carré est égal à 323 soit 6 561. Comme F5 – 1 est égal à 232, il suffit de 32 étapes pour conclure, ce qui est maintenant rapide avec les méthodes de calcul modernes.

La deuxième difficulté à résoudre est le caractère élevé des puissances successives, on finirait par devoir utiliser de très grands nombres qui imposent une écriture lourde des valeurs intermédiaires, ainsi 325 est égal à 1 853 020 188 851 841 toothpaste dispenser price, alors que ce n’est que la cinquième valeur intermédiaire et qu’il faut en calculer 32. Il est néanmoins possible d’écrire ce nombre habilement, à l’aide d’une division euclidienne :

Ce qui importe, c’est le reste de la division euclidienne de 3(F5 – 1) – 1 et non pas la valeur de Q5. Ainsi, à l’étape d’après :

Il suffit de calculer le carré de R5 et d’opérer une division euclidienne de ce carré par F5 et on obtient :

Le calcul de Q6, et en règle générale de Qnn est un entier qui va jusqu’à 32, est inutile. De plus, la suite des Rn ne dépasse jamais F5, ce qui empêche une explosion de chiffres significatifs à calculer. En 32 étapes, on trouve que le reste de la division euclidienne de 3(F5 – 1) – 1 par F5 est égal à 3 029 026 159 et non pas 0, le nombre F5 n’est pas premier. Euler utilise une méthode plus habile, elle exhibe effectivement les diviseurs, sa méthode est exposée dans l’article Nombre de Fermat.

Les questions d’arithmétiques sur les entiers s’avèrent rapidement complexes, Gauss, un mathématicien du XIXe siècle, indiquait : « Leurs charmes particuliers vient de la simplicité des énoncés jointe à la difficulté des preuves. ». D’autres idées sont nécessaires pour aller plus loin. Une méthode consiste à construire de nouveaux ensembles. Cette méthode est illustrée dans l’article Théorème des deux carrés de Fermat. Pour résoudre l’équation X2 + Y2 dans ℤ, on ne cherche cette fois plus les solutions dans ℤ, mais dans l’ensemble des nombres de la forme a + ib, où a et b sont des entiers et i l’unité imaginaire. Un élément de cet ensemble porte le nom d’entier de Gauss.

Un des charmes de cet ensemble est qu’il existe encore une division euclidienne. Les démonstrations des résultats énoncés dans cet article s’appliquent presque sans modification au nouvel ensemble. Les nombres premiers, cette fois sont un peu différents, 2 n’est pas premier car (1 + i)(1 – i) est égal à 2, en revanche, 1 + i l’est. La résolution de l’équation y est beaucoup plus facile.

L’anneau des entiers de ℚ(5), l’ensemble des nombres de la forme a + b(1 + 5)/2, où a et b sont des entiers, est également euclidien. Il permet de démontrer la loi d’apparition des nombres premiers dans la suite de Fibonacci.

Cette logique permet aussi de construire une arithmétique des polynômes, à l’origine de résolutions d’équations algébriques complexes, comme l’équation cyclotomique.

Une autre idée essentielle consiste encore à créer de nouveaux ensembles de nombres, mais cette fois en s’y prenant différemment. Les nombres sont les restes d’une division euclidienne par un entier, souvent choisi premier. Les éléments de ce nouvel ensemble portent le nom de congruence sur les entiers. L’usage de cet ensemble est en filigrane dans le test de primalité recherché. Il permet de démontrer simplement la généralisation d’Euler du petit théorème de Fermat, et par la même occasion introduit la fonction indicatrice d’Euler, qui joue un rôle important en arithmétique.

Un exemple de résultat arithmétique obtenu avec ce type de méthode est la loi de réciprocité quadratique qui permet de résoudre des équations diophantiennes comme X2 + pY + n = 0, où p est un nombre premier et n un entier.

Venezuelan regional elections, 2004

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The 2004 regional elections of Venezuela were held on 31 October 2004 to elect 22 governors and 2 metropolitan mayors for a four-year term beginning in 2004 and ending in 2008, when the next regional elections were held. The elections were originally scheduled for 26 September 2004, but faced technical issues and an application for annulment requested by the opposition, and were held under high political pressure after the events of the recall referendum of August 2004. The ongoing political crisis in the country and the proximity of the two electoral processes marked the environment of the elections, which were won with an overwhelming margin by the candidates supported by the president, Hugo Chavez.

A total 1,577 political organizations participated in the elections; however, abstention levels reached 52%. As a result, the opposition held two of the 22 governments but lost the Caracas and capital district mayorships. Henrique Salas Römer, who ran as a presidential candidate in 1998, lost the government of Carabobo to Luis Acosta Carlez. Claudio Fermin, who run for precedency in the elections of 2000 toothpaste dispenser price, had no success at the metropolitan mayorship of Caracas, losing to Juan Barreto. Opposition candidate and incumbent governor Enrique Mendoza, who was considered as a possible future presidential candidate, lost the elections of the Miranda state to Diosdado Cabello. Manuel Rosales, who would later run for precedency in the elections of 2006, became the governor of the Zulia state.

Following, the list of three main candidates according to their political affiliation (government, opposition and dissident or independent) ordered by number of votes attained wholesale basketball uniforms. The political affiliation is determined by the political parties supporting each candidate. For the 2004 elections, government candidates were supported by the Fifth Republic Movement (MVR) party; opposition candidates were supported by either Democratic Action (AD), Justice First Movement (PJ), A New Era (UNT), or the Political Electoral Independent Organization Committee (COPEI) party; and independent candidates were mostly supported by regional parties.

Half Dome

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Géolocalisation sur la carte : Californie

Géolocalisation sur la carte : États-Unis

Le Half Dome (« Demi Dôme » en anglais) est un dôme granitique situé à l’extrémité est de la vallée de Yosemite

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, sans doute l’élément le plus célèbre de la vallée. Le sommet se situe à plus de 1 440 mètres au-dessus du niveau de la vallée, à 2&nbsp youth sports jerseys;693 mètres d’altitude.

Les Amérindiens appelaient le Half Dome Tis-sa-ack brown football uniforms, ce qui signifie « la roche fendue » dans leur langue.

Le Half Dome est un excellent exemple de dôme d’exfoliation. Il ne fut probablement jamais un dôme complet et rond. Quand le Half Dome s’est formé, il avait déjà des fractures dans le granite. L’eau s’inflitra dans les fractures et gela, cassant la roche. Des glaciers érodèrent la base du dôme. Finalement, environ 20 % du dôme fut emporté par le glacier Tenaya, laissant derrière lui une paroi presque verticale.

Jusque dans les années 1870, les gens considéraient que le Half Dome ne pouvait être grimpé. De nos jours, des milliers de randonneurs atteignent le sommet chaque année par un itinéraire qui part du fond de la vallée. Ce sentier fait 13,5 kilomètres (8,5&nbsp toothpaste dispenser price;miles), avec une difficulté de « randonnée alpine exigeante » (T5). Les derniers 200 mètres d’ascension sont une dalle très inclinée (30°) équipée de câbles métalliques (posés en 1919).

D’autre part, il existe une douzaine de voies d’escalade qui mènent de la vallée au sommet à travers la face verticale nord-ouest du Half Dome. D’autres itinéraires escaladent la paroi sur la face sud et la paroi ouest. La première voie ouverte était la voie Regular Northwest Face (voie normale de la face nord-ouest), grimpée pour la première fois en 1957 par Royal Robbins, Mike Sherrick et Jerry Gallwas. Cette ascension dura 5 jours et fut la première voie de Classe VI aux États-Unis. Depuis, cette montagne fut l’hôte d’un autre grand exploit sportif. Le 6 septembre 2007, la jeune figure montante de l’escalade solo, Alex Honnold, a grimpé le Regular Northwest Face (voie de plus de 700 mètres (23 longueurs de corde) cotée 5.12a) sans aucune protection en seulement 2 heures et 50 minutes.

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